谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里。事实上，认为存在明显界限也许是愚蠢的。但是智能的基本能力还是确定的，它们是：
对于情境有很灵活的反应；
充分利用机遇；
弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息；
认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的；
在存在差异的情景之间能发现它们的相似处；
从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别；
用旧的概念综合出新的概念，把它们用新方法组合起来；
提出全新的观念。

但是什么样的“规则”可能把握住我们想到的所有的智能行为呢?当然,一定是在各个不同的层次上有不同的规则。一定有许多”十分平常的”规则,一定有“元规则”修改“十分平常的”规则,而且元元规则”修改元规则,等等。智能的灵活性来自大量的不同规和规则的层次。之所以一定有许许多多的在不同层次上的规则,因为在生活中,生物面对着成千上万的完全不同类型的境况。在某些境况中,只存在要求“十分平常的”规则的刻板反应。有些境况是一些刻板境况的混合这样,就需要决定要使用哪些“十分平常的”规则的规则。有些境况无法分类—那么,就一定要有发明新规则的规则……等等。无疑,包含着那些直接或间接地改变自己的规则的怪圈是智能的核心

哥德尔一旦发明了这种编码的方法,他就得找出一个具体的把说谎者悖论转换成数论形式的方法。他最后移植的说谎者并不是说:“本数论语句是假的”,而是说:“本数论陈述是不可证的”这可能会引起极大的混乱,因为人们通常对于“证明”这一概念理解得很模糊。哥德尔的工作实际上正是数学家们力图澄清什么是证明这一长期努力的”-部分。要记住的重要事情是,证明是在确定的命题系统范围内的论证在哥德尔的工作中,“证明”一词所涉及的那个特定的数论推理系统减是91913年间出版的罗素和怀特海合著的巨作《数学原理》中的那个系统。因此,哥德年句子G写成下列的汉语陈述更为合适：
这个数论语句在《数学原理》的系统中是不可证的。

就其最简单的形式而言,哥德尔的发现涉及到
把个古老的哲学悖论转化成数学上的说法。那个悖论就是所谓的“艾皮曼尼蒂斯悖论”，即“说谎者悖论”。艾皮曼尼蒂斯是一个克里特岛人,他说过句不朽的话:“所有克里特岛人都是说谎者。”这语句的种更直截了当的说法是:“我在
说谎”,或者.“本句子是假的”。
[译者注:从前,人们认为这两个陈述都是悖论,而本世纪罗素指出了前者不是悖论。因为由前者的真可以推出它假,而由前者的假则不能推出它真]。

但是,腓德烈的真正爱好是音乐。他是个热心的长笛手和作曲家。他的一些作品甚至到现在还被演奏。腓德烈是最早认识到新发明的“弱强琴[ plano- forte]”(即钢琴[ plano]的原名)优点的艺术保护人之一。十八世纪前半叶,羽管键琴(又称拨弦古钢琴)经过改造发展成为钢琴。羽管键琴的缺点是,乐曲只能以同一响度奏出,而无法把一个音符弹得比它前后的音符更响些。“弱强琴”正象这一名称本身所暗示的那样—弥补了这一缺陷。在意大利,巴托罗米欧·克里斯托弗制造了第一架这种钢琴。以后,“弱强琴”这个概念就从意大利广泛地传播开了第一流的德国管风琴制造家哥特弗雷德·希尔伯曼当时致力于制造一架“完备”的弱强琴。腓德烈大帝无疑是他这一工作的最大支持者—据说这位国王拥有的希尔伯曼钢琴达十五架之多!