知识的范围不像有时设想的那样大,有三条原理,大致可表达为:每个(可测)集几乎是有限个区间的并;每个(可测)函数几乎是连续的;每个(可测)函数的收敛序列几乎是一致性收敛的.(实函数论)中的大多数结果是这些概念的完全直觉的应用,而学生们掌握了这些,等于掌握了大多数情况下实变数理论所要求的.若可以看到由一个原理可以“很好”地证实一个问题的正确性,那么自然要问“几乎”应充分接近到怎样的程度,这个问题就可以确切地解决了.

Lebesgue积分与Riemann积分有本质上的不同.其不同之处也许用Lebesgue自己的说法来说明是最为恰当的了,他说:假如我欠了人家许多钱,现在要还,此时,先按钞票面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是我的积分思想.如不按面值大小分类,而是按从钱袋中摸出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分的思想.

Riemann可积函数,基本上是连续函数,与之相差的不过在一个测度为零的集合上.这样的函数类当然是太小了,尤其在上一讲第4.3节中已经知道:存在处处不可微的连续函数,使得人们认识到:连续函数类与可微函数类相距甚远!这也告诉我们:必须拓展原有积分的概念,否则微积分难于前进.

从上述的讨论中可以看出:三个初等函数与一般的连续函数、可微函数及可积函数的关系是特殊与一般的关系.人们通过用特殊的函数(三个初等函数)的表示与逼近来认识一般的函数(连续函数、可微函数、可积函数);另一方面,在微积分中几乎所有的定义、定理与公式都是对一般的函数说的,但例题与习题的大部分却是讨论这特殊的三个初等函数以及它们的复合函数的,通过对这些特殊的函数的讨论来认识这些一般的函数的定义、定理与公式的.

因此可以说,微积分将函数进行局部线性化,之后是线性代数的工作了.

从这个观点来看,还有没有可能产生具有这样性质的其他的“度”呢?很明显,在三维 Euclid空间,这是不可能的了.因为在三维Euclid空间,三次外微分形式的外微分为零,所以不可能再有与之相当的“度”了.所以从外微分形式的观点,在三维 Euclid空间,有而且只能有这三个度,即梯度、旋度、散度.

Stokes公式是微积分这门学科的一个顶峰,它使微积分从古典走向现代,是数学中少有的简洁、美丽而深刻的定理之一.

Stokes公式揭露了在三维 Euclid空间中微分与积分是如何成为一对矛盾的,这对矛盾的一方为外微分形式,另一方为线积分、面积分体积分.这个公式说:外微分形式dω在区域上的积分等于比它低次的外微分形式ω在区域的低一维的边界上的积分,外微分运算与积分起了相互抵消的作用,就像加法与减法、乘法与除法、乘方与开方相互抵消一样.Stokes公式形式上统一了上述四条定理,那么这种形式上的统是否出于凑巧?当然不是的.正是引入了十分自然的定向的概念Poincare指出了体积元素应有正负定向的概念,Stokes公式的得到是顺理成章的事,是必然的结果.更为重要的是:在高维 Euclid空间,当维数大于3时, Stokes公式依然成立;不但如此,当Ω是微分流形时(将在第五讲中讨论),公式依然成立,这说明 Stokes公式是微积分中具有本质性的定理.

从这里还可以看出:除了Gren公式，Stokes公式以及 Gauss公式以外,在三维 Euclid空间中,联系区域与其边界的积分公式不会再有了,因为这时三次外微分形式的外微分为零。

要讲外微分形式,必须先讲定向的概念,法国著名的拓扑学家托姆(R.Thom,1923-)教授,曾经对吴文俊教授表达过这样的意见:定向概念是几何拓扑中最有深刻意义的伟大创造之一.

数学的历史也像一部战争史,往往是“一将功成万骨枯”!

人们从小学一直到大学,读过的书叠在一起不知有多高,如果不是逐步用“高级”的来替代“低级”的,逐步忘掉一些被替代掉的旧知识,人们怎能记得住那么多!人们从上小学以来,年年学数学,实际上就是一个以“高级”替代“低级”的过程,否则靠死记硬背,最后将会忘掉一切。

他在空间上引入了 Riemann度量.对于曲率为常数的空间,称为常曲率空间.在这种空间中,当常曲率为零时,这就是 Euclid空间,即过直线外一点,能且只能有一条平行线当常曲率为正常数时,则过“直线”外一点没有“平行线”;当常曲率为负数时,则过“直线”外一点,可以作多于一条的“平行线”由“非欧几何”思想为基础而建立起来的“ Riemann几何”,开创其发展更是一日千里.

“平面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思维的最好方法之一,这种训练比上一门“形式逻辑”课更为有效,且这种训练对学生终生有用.

但人们真正完全认识清楚圆锥曲线也许是在解析几何产生后,弄清了圆锥曲线就是二次曲线之后,由于引入了坐标,人们不仅能讨论直线与平面——一次曲线与曲面,圆、球、圆锥曲线与曲面二次曲线与曲面,还能讨论更为高次的曲线及其他曲面。