此书摘本创建于：2017-03-02
微积分五讲
《微积分五讲》从现代数学的观点以及矛盾的观点来重新审视与认识微积分。用通俗的语言讲述了微积分从哪里来、微积分的三个发展阶段、微积分严格化后走向哪里、微积分的主要矛盾，尤 …… [ 展开全部 ]
- 作者：龚昇
- 出版社：科学出版社
- 定价：14.00元
- ISBN：9787030134394
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知识的范围不像有时设想的那样大,有三条原理,大致可表达为:每个(可测)集几乎是有限个区间的并;每个(可测)函数几乎是连续的;每个(可测)函数的收敛序列几乎是一致性收敛的.(实函数论)中的大多数结果是这些概念的完全直觉的应用,而学生们掌握了这些,等于掌握了大多数情况下实变数理论所要求的.若可以看到由一个原理可以“很好”地证实一个问题的正确性,那么自然要问“几乎”应充分接近到怎样的程度,这个问题就可以确切地解决了.1944年,李特尔伍德(J.E. Littlewood,1885-1977)曾写过一本叫《函数论讲义》的书,他说了这样一段话.
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Lebesgue积分与Riemann积分有本质上的不同.其不同之处也许用Lebesgue自己的说法来说明是最为恰当的了,他说:假如我欠了人家许多钱,现在要还,此时,先按钞票面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是我的积分思想.如不按面值大小分类,而是按从钱袋中摸出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分的思想.Riemann积分是按自变量变化区间分点取得函数值，先后加和；Lebesgue积分是按函数值变化区间分点得自变量分布，按同一函数值的区间测度进行加和。
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Riemann可积函数,基本上是连续函数,与之相差的不过在一个测度为零的集合上.这样的函数类当然是太小了,尤其在上一讲第4.3节中已经知道:存在处处不可微的连续函数,使得人们认识到:连续函数类与可微函数类相距甚远!这也告诉我们:必须拓展原有积分的概念,否则微积分难于前进.Riemann可积条件局限性太大，停留在简单的取分加合思想上，忽略了函数的局部奇异性质。
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从上述的讨论中可以看出:三个初等函数与一般的连续函数、可微函数及可积函数的关系是特殊与一般的关系.人们通过用特殊的函数(三个初等函数)的表示与逼近来认识一般的函数(连续函数、可微函数、可积函数);另一方面,在微积分中几乎所有的定义、定理与公式都是对一般的函数说的,但例题与习题的大部分却是讨论这特殊的三个初等函数以及它们的复合函数的,通过对这些特殊的函数的讨论来认识这些一般的函数的定义、定理与公式的.初等函数这一分类的存在意义。
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因此可以说,微积分将函数进行局部线性化,之后是线性代数的工作了.李尚志亦曾言，微积分将各种函数处理成线性的、一次的，而线性代数正是研究这些线性的、一次的关系。
